절대주의 수리철학

절의주의 수리철학

: 절대적 진리로서의 수학의 존재성 및 수학의 절대적

  기초를 인정하는 수리철학 

  (플라톤주의, 논리주의, 직관주의, 형식주의)

※상대주의 수리 철학

 : 수학은 오류가능하며 지식의 형성과정을 중시

   (준경험주의, 구성주의)

플라톤 주의

• 플라톤, 유클리드(원론)

• 수학적 대상의 존재는 객관적인 사실이며 인간 활동과 무관 • 수학적 대상은 완벽하며 불변하는 것 (이상적인 이데아)

• 모든 것은 이미 존재 → 수학자는 경험 과학자일 뿐

• 증명 : 자명한 진리인 공리, 공준과 이데아를 명백하게 

         기술하는 역할을 하는 정의로부터 새로운 정리

         를 이끌어 내는 수단

• 실패 : 비유클리드 기하의 발견

         집합론과 함수론 등에서 여러 가지 패러독스 발견

논리주의

• 러셀(Russell)

• 논리학의 의심할 여지없는 확실성을 수학에 부여하여

  수학의 기초에 확실성을 제공하려고 함

• 수학의 확실성을 논리의 확실성으로 환원

• 데데킨트(유리수), 페아노(무정의 개념), 프레게(수 체계)

• 증명 : 논리학의 공리와 정의로부터 수학적 명제를 

         이끌어 내는 수단 

       : 수학적 명제가 논리적으로 항상 참임을 보이는 것

• 실패 : 러셀의 역리(자기 자신에 속하지 않는 집합Z)

          → 러셀의 무한공리, 환원공리, 선택공리

          하지만, 이로 인해 집합론≠논리학

직관주의

• 브로우어(Brouwer)

• 직관은 수학적 지식의 근원으로써 다른 어떤 논리보다 선행

• 수학적 활동은 직관적으로 자명한 공리에 근거한 내성적 구성

• 모든 수학이 자연수 위에 구성적으로 근거

• 수학적 대상은 유한번의 단계 내에서 구성되지 않으면

  존재한다고 볼 수 없음

• 비구성적 논증, 모순률(S와 S의 부정은 동시에 성립×)

  배중률(S와 S의 부정 중 하나는 반드시 성립) 등 배제

• 수학적 명제로의 적법성 = 구성 가능성

• 수학적 지식의 확실한 기초 제공

• 실패 : 고전 수학의 내용을 상당부분 상실

        수학의 내용을 지나치게 제한

※ 프로이덴탈은 플라톤 주의 수용하지 않고

       직관주의 수리철학을 기초로 함 

       (브로우어의 제자)

형식주의

• 힐베르트(Hilbert)

• 수학을 의미가 배제된 형식 체계로 재조직

• 의미 없는 기호 조작이 수학의 핵심

• 수학적 의미를 포기하는 대신 무모순성을 얻고자 함

• 증명 : 특별한 규칙을 따르는 의미 없는 기호 조작

         엄밀한 연역적 증명은 무모순성과 완전성을

         보장하는 수단

• 실패 : 괴델의 불완전성 정리 (공리계의 명제 중에는

         그 안에서 긍정도 부정도 할 수 없는 것이 존재)

         → 증명도 반증도 되지 않는 명제 등장

            (무모순성이 보장 될 수 없음을 보여줌)